العمليات الرياضية الأساسية علي المصفوفات :
تعرفنا فيما سبق علي كيفية إجراء العمليات الحسابية الأساسية علي قيم عددية مفردة Scalars كالجمع والطرح والضرب والقسمة من اليمين ومن اليسار والرفع إلي أس .
وبنفس الكيفية يمكننا برنامج MATLAB من إجراء العمليات الرياضية الأساسية علي المصفوفات Matrices كالجمع والطرح والضرب والقسمة من اليمين ومن اليسار والرفع إلي أس (إيجاد المصفوفة الأسية ) وكأنها قيم عددية مفردة Scalars .
ولكن هذه العمليات تعتمد علي مجموعة من القواعد ( علي عكس المعتاد عليه في العمليات الحسابية العادية ) التي يتم تطبيقها علي القيم العددية المفردة Scalars كما ذكرنا فيما قبل ويطلق علي هذه القواعد جبر المصفوفات Matrices Algebraic .
ولنلخص المعاملات الحسابية التي تخص المصفوفات في الجدول التالي :
المعامل الرياضي |
الوظيفة |
الصيغة وفق برنامج MATLAB |
المؤثر (+) |
إجراء عملية الجمع علي الأعداد المفردة Scalars أو المصفوفات (التي لها نفس الأبعاد ) Same Size Matrices . |
A+B |
المؤثر (-) |
إجراء عملية الطرح علي الأعداد المفردة Scalars أو المصفوفات (التي لها نفس الأبعاد ) Same Size Matrices . |
A-B |
المؤثر (*.) |
إجراء عملية الضرب علي المتجهات أو المصفوفات (التي لها نفس الأبعاد ) Same Size Matrices عنصرا بعنصر Element By Element . |
A.*B |
المؤثر (/.) |
إجراء عملية القسمة اليمني Right Division علي المتجهات أو المصفوفات (التي لها نفس الأبعاد ) Same Size Matrices عنصرا بعنصر Element By Element . |
A./B |
المؤثر (.) |
إجراء عملية القسمة اليسريLeft Division علي المتجهات أو المصفوفات (التي لها نفس الأبعاد ) Same Size Matrices عنصرا بعنصر Element By Element . |
A.B |
المؤثر (^.) |
إجراء عملية القسمة اليمني Right Division علي المتجهات Vector أو المصفوفات Matrices عنصرا بعنصر Element By Element . |
A.^B |
المؤثر (*) |
إجراء عملية الضرب علي الأعداد المفردة Scalars أو المصفوفات Matrices. فلنفترض أن لدينا مصفوفتين A&B . فشرط ضربهما هو أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولي A يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية B أو أن يكون أحدهما عدد مفرد Scalar . |
A*B |
المؤثر (/) |
إجراء عملية القسمة اليمني Right Devision علي الأعداد المفردة Scalars أو المصفوفات المربعة Square Matrices . |
A/B |
المؤثر () |
إجراء عملية القسمة اليسري left Devision علي الأعداد المفردة Scalars أو المصفوفات المربعة Square Matrices . |
AB |
المؤثر (^) |
إجراء عملية الرفع إلي أس علي الأعداد المفردة Scalars أو المصفوفات المربعة Square Matrices . |
A^B |
من الجدول السابق نلاحظ وجود تشابه في تنفيذ عمليات الجمع والطرح علي القيم العددية المفردة Scalars وعلي المصفوفات Matrices أما عمليتا الضرب والقسمة والرفع إلي أس فالأمر قد يختلف قليلا .
جمع المصفوفات / المتجهات :
قبل البدء في إجراء عملية جمع مصفوفتين عدديتين , يشترط برنامج matlab أن يكون للمصفوفتين المراد جمعهما نفس عدد الصفوف m ونفس عدد الأعمدة n أو أن يكون أحدهما قيمة عددية مفردة scalar, علما بأن ناتج جمع المصفوفتين سيكون عبارة عن مصفوفة لها نفس الأبعاد (Mxn).
فعلي سيبل المثال المصفوفتان التاليتان A&b يمكن جمعهما لأنهما يحملان نفس عدد الصفوف
والأعمدة , لذا فيمكننا إجراء عملية جمع المصفوفتين علي الشكل التالي :
<< % defining anon square matrix [A]
<< A = [ 2 4; 6 8; 10 12]
A =
2 4
6 8
10 12
<< % defining anon square matrix [b]
<< B =[1 3;5 7; 9 11]
B =
1 3
5 7
9 11
<< % [c] = [A] + [B]
<< c=A+B
c =
3 7
11 15
19 23
كيف تتم عملية جمع مصفوفتين :
تتم عملية الجمع , بجمع العنصر الأول في الصف الأول للمصفوفة a مع ما يناظره في المصفوفة B (العنصر الأول في الصف الأول في المصفوفة b) , وبالتالي نكون قد حصلنا علي العنصر الأول للصف الأول والعمود الأول للمصفوفة الجديدة c.
2+1 =3
وبالمثل لإيجاد العنصر الثاني في الصف الأول للمصفوفة c فنقوم بجمع العنصر الثاني في الصف الأول للمصفوفة A مع مايناظره في المصفوفة B (العصر الثاني في الصف الأول والعمود الثاني للمصفوفة B).
4+3 = 7
ونستمر هكذا حتي يتم الإنتهاء من إجراء عملية الجمع.
ملحوظة : يمكننا البرنامج من إجراء عملية جمع Addition process بين قيمة عددية مفردة Scalar ومصفوفة أخري A , لتتنتج مصفوفة لها نفس أبعاد المصفوفة A , بحيث يتم إضافة القيمة العددية المفردة إلي جميع عناصر المصفوفة Aعنصرا بعنصر Element By Element , كما في المثال التالي :
<< A= [2 4;6 8; 10 12];
<< c=A+3
C =
5 7
9 11
13 15
وبنفس الطريقة السابقة لجمع مصفوفتين , يمكننا إجراء عملية الجمع علي المتجهات الصفيةالعمودية بشرط أن يكون لها نفس عدد العناصر , أو أن يكون أحدهما قيمة عددية مفردة Scalar لتضاف علي جميع عناصر المتجه عنصرا بعنصر Element By Element.
طرح المصفوفات :
يقوم برنامج MATALAB بعملية طرح المصفوفات بنفس قاعدة عملية جمع المصفوفات التي تعلمناها سويا حيث يشترط أن تكون المصفوفات التي يتم جمعها أو طرحها لها نفس الأبعاد m x n حيث ة هو عدد الصفوف وN هو عدد الأعمدة أو أن يكون أحدهما قيمة عددية مفردة Scalar علما بأن ناتج طرح المصفوفتين سيكون عبارة عن مصفوفة لها نفس الأبعاد (m x n).
فعلي سبيل المثال المصفوفتان التاليتان A&B يمكن طرحهما لأنهما يحملان نفس عدد الصفوف والأعمدة , لذا فيمكننا إجراء عملية طرح المصفوفتين علي الشكل التالي :
<< % defining anon square matrix [A]
<< A= [2 4;6 8;10 12]
A =
2 4
6 8
10 12
<< B= [1 3;5 7;9 11]
B =
1 3
5 7
9 11
<< % [c] = [a] – [B]
<< c =A-B
c =
1 1
1 1
1 1
كيف تتم عملية طرح مصفوفتين :
تتم عملية طرح مصفوفتين تماما مثل عملية الجمع , حيث يتم طرح العنصر الأول في الصف الأول للمصفوفة A مع ما يناظره في المصفوفة B (العنصر الأول في الصف الأول في المصفوفة B) وبالتالي نكون قد حصلنا علي العنصر الأول في الصف الأول والعمود الأول للمصفوفة الجديدة C وبالمثل لإيجاد العنصر الثاني في الصف الأول للمصفوفة C بطرح العنصر الثاني في الصف الأول للمصفوفة A مع ما يناظرة في المصفوفة B(العنصر ونستمر هكذا حتي يتم الإنتهاء من إجراء عملية الطرح).
ملحوظة : يمكننا البرنامج من إجراء عملية طرح Subtraction process قيمة عددية مفردة Scalar من جميع عناصر المصفوفة A, لتنتج مصفوفة لها نفس أبعاد المصفوفة A, بحيث يتم طرح القيمة العددية المفردة من جميع عناصر المصفوفة A عنصرا بعنصر Element By Element , كما في المثال التالي :
<< A=[2 4;6 8;10 12] ;
<< C =A-1
C =ٌ
1 3
5 7
9 11
وبنفس الطريقة السابقة لطرح مصفوفتين , يمكننا إجراء عملية الطرح علي المتجهات الصفيةالعمودية بشرط أن يكون لها نفس عدد العناصر , أو أن يكون أحدهما قيمة عددية مفردة Scalar لتضاف إلي جميع عناصر المتجه عنصرا بعنصر Element By Element.
ضرب المصفوفات :
تعلمنا سابقا أنه لكي تتم عملية جمع المصفوفات المتجهات العددية يشترط برنامج MATLAB تساوي أبعادها أو عدد عناصرها.
أما عند إجراء عملية ضرب مصفوفتين في برنامج MATLAB ولنفترض أن لدينا مصفوفتين A&B , فشرط ضربهما هو أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولي A يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية B , كما هو موضح في المعادلة التالية :
حيث أن :
M : يمثل عدد صفوف المصفوفة الأولي [A] وn يمثل عدد أعمدتها.
N : يمثل عدد صفوف المصفوفة الثانية [B] و R يمثل عدد أعمدتها.
وبالفعل فقد تحقق شرط ضرب المصفوفتين A,B حيث أن عدد أعمدة المصفوفة الأولي [A] يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية [B] يساوي n.
مع ملاحظة أن المصفوفة الناتجة [C] عن عملية الضرب هي مصفوفة عدد صفوفها هو عدد صفوف المصفوفة الأولي [A] وعدد أعمدتها هو عدد أعمدة المصفوفة الثانية [B].
ولتوضيح كيفية إجراء عملية ضرب مصفوفتين , تابع المثال التالي :
* قم بتعريف المصفوفة A وهي مصفوفة من الدرجة (3*2) كما يلي :
<< % defining anon square matrix [A]
<< A = [1 3 2 ;4 6 5]
A =
1 3 2
4 6 5
قم بتعريف المصفوفة b وهي مصفوفة من الدرجة (2*3) كما يلي :
<< % defining anon square matrix [B]
<< B=[2 1;3 2;7 1]
B =
2 1
3 2
7 1
* نلاحظ من الخطوتين السابقتين أن عدد أعمدة المصفوفة الأولي [A] يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية [B] يساوي n مما يحقق شرط إجراء عملية الضرب للمصفوفتين B,A كما يلي :
<< % c=a*b
C =
25 9
61 21
لنلاحظ أنه قد تم إجراء عملية الضربق وأن المصفوفة [c] الناتجة من عملية الضرب هي مصفوفة عدد صفوفها هو عدد صفوف المصفوفة الأولي [A] وعدد أعمدتها هو عدد أعمدة المصفوفة الثانية [b].
كيف تتم عملية ضرب مصفوفتين :
تتم عملية ضرب مصفوفتين بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولي [a] في العناصر المناظرة لها في العمود الأول من المصفوفة الثانية [b] مع الجمع لينتج العنصر الأول (في الصف الأول والعمود الأول ) من المصفوفة [C] (مصفوفة ناتج عملية الضرب) , كما يلي :
1*2+3*3+2+_7 = 25
وبالمثل يتم الحصول علي العنصر الثاني في الصف الأول والعمود الثاني للمصفوفة c بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولي [a] في العناصر المناظرة لها في العمود الثاني من المصفوفة الثانية [B] مع الجمع , كما يلي :
1*2+3*3+2*7 = 25
وبالمثل يتم الحصول علي العنصر الثاني في الصف الأول والعمود الثاني للمصفوفة c بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولي [A] في العناصر المناظرة لها في العمود الثاني من المصفوفة الثانية [B] مع الجمع , كما يلي :
1*+3*2=2*1 = 9
ونستمر هكذا حتي يتم الإنتهاء من إجراء عملية ضرب المصفوفتين .
ملحوظة : ذكرنا أن الشرط اللازم توافره لضرب مصفوفتين هو أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولي يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية وإلا سيقوم البرنامج بعرض رسالة خطأ تفيدك بعدم توافق أبعاد المصفوفتين لإجراء عملية الضرب كما في المثال التالي :
<< x =[1 3 5;2 4 6]
x =
1 3 5
2 4 6
<< Y = [5 3 1;6 4 2]
Y =
5 3 1
6 4 2
<< Z=X*Y
??? error using == < mtimes
Inner matrix dimensions must agree.
ولكن قد يكون هدف المستخدم هو ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة الأولي في العنصر المناظر له في المصفوفة الثانية element by element multiplication , ويتحقق هذا بشرط أن يتساوي أبعاد المصفوفتين المراد ضرب عناصرها المتقابلة , وهذا محقق بطبيعة الحال في هذا المثال , أو أن يكون أحد المصفوفتين قيمة عددية مفردة Scalar وتتحقق هذه العملية بإضافة علامة النقطة (.)dot قبل علامة عملية الضرب (*) كما في المثال التالي :
<< z=x.*y
z =
5 9 5
12 16 12
وكما نلاحظ أننا حصلنا علي مصفوفة لها نفس أبعاد المصفوفتين X,Y , حيث تم ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة X في العنصر المناظر له في المصفوفة Y , لتنتج المصفوفةz والتي لها نفس أبعاد المصفوفتين Y,X , وينطبق ذلك أيضا علي عملية القسمة من اليسار إلي اليمين (القسمة اليسارية) أو القسمة العكسية من اليمين إلي اليسار (اليمينية) وعملية رفع المصفوفات إلي قوة.
وبالمثل يمكننا ضرب القيمة العددية المفردة 2 في كل عنصر من عناصر المصفوفة x بحيث تتم عملية الضرب عنصرا بعنصر element by element multiplication كما يلي :
<< % w = 2. *x = 2*x
<< w=2. *x
w =
2 6 10
4 8 12
لنلاحظ بأن البرنامج قام بضرب القيمة العددية المفردة 2 في جميع عناصر المصفوفة X عنصرا بعنصر element by element multication لتنتج المصفوفة w التي لها نفس أبعاد المصفوفة X .
لذا فالعمليات الرياضية بين الأعداد المفردة scalars وبين المصفوفات matrices والمتجهات vectors(كالجمع والطرح والقسمة) تتم بطريقة طبيعية كما لو كانت عمليات رياضية بين أعداد مفردة فقط , حيث يقوم البرنامج ببساطة بتطبيق العملية الحسابية علي كافة عناصر المصفوفة كما في المثال التالي :
<< x =[1 3 5;2 4 6];
<< 3*x2-1
ans =
0.5000 3.5000 6.5000
2.000 5.0000 8.0000
وفيه يتم ضرب كل عنصر من عناصر X في العدد المفرد 3 ثم تقسيم كل من عناصر المصفوفة الناتجة علي العدد المفرد 2 وأخيرا يتم طرح 1 من كل عنصر من نتيجة العملية السابقة.
لاحظ أن العمليات الرياضية بين المصفوفات والأعداد المفردة تتبع نفس ترتيب الأولويات المستخدمة في التعبيرات الرياضية بين الأعداد المفردة , وأنه يمكن استخدام الأقواس عند الرغبة في تغيير ترتيب العمليات كما يلي :
<< 3* (X-1) 2
ans =
0 3.0000 6.0000
1.5000 4.5000 7.5000
وفيه يتم طرح العدد المفرد 1 من كل عنصر من عناصر المصفوفة X أولا ثم تقسيم كل من عناصر المصفوفة الناتجة علي العدد المفرد 2 وأخيرا يتم ضرب 3 في كل عنصر من نتيجة العملية السابقة.
ضرب المتجهات :
عند الشروع في إجراء عملية الضرب العادية بين متجهين صفيين, سيقوم البرنامج بعرض رسالة خطأ تفيدك بعدم إمكانية ضرب المتجهين لعدم توافق أبعادهما (لأن الشرط السابق ذكره لإجراء عملية الضرب لم ينطبق علي الكتجهين الصفيين) وهو أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولي يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية , وهذا غير محقق في المثال التالي :
<< % defining a row vector [X]
<< X = [1 3 5 7 9 ];
<< % defining a row vector [Y]
<< Y = [2 4 6 8 10];
<< Z=X*Y
??? error using == < mtimes
Inner matrix dimensions must agree.
في حين أنه بإمكاننا ضرب كل عنصر من عناصر المتجه X في العنصر المناظر له في المتجه Y , ولكن يجب أن يكون الكتجهان X,Y المراد ضربهما لهما نفس الأبعاد , وهذا محقق بطبيعة الحال في هذا المثال أو أن يكون أحدهما قيمة عددية مفردة Scalar ولتنفيذ هذه العملية نقوم بإضافة نقطة (.) Dot قبل علامة عملية الضرب (*) كما يلي :
>> % Defining a Row Vector [X]
>> X= [ 1 3 5 7 9] ;
>> % Defining a Row Vector [Y]
>> Y= [ 2 4 6 8 10] ;
>> Z=X.*Y
Z =
2 12 30 56 90
وبالفعل نلاحظ أن قيم عناصر المتجه Z هي عبارة عن حاصل ضرب كل عنصر من عناصر المتجه X في نظيره من المتجه Y كما يلي :
Z(1) =X(1)*Y(1)
Z(2) =X(2)*Y(2)
Z(3) =X(3)*Y(3)
وبالمثل يمكننا ضرب القيمة العددية المفردة 3 في جميع عناصر المتجه الصفي X بحيث تتم عملية الضرب عنصرا بعنصر Element By Element Multiplication كما يلي :
>> W=3.*X
W =
3 6 15 21 27
ملحوظة : يمكنك إجراء عملية الضرب بين متجهين بشرط أن يكون أحدهما متجه صفي Row Vector والأخر عمودي Column Vector وأن يكون لهما نفس عدد العناصر كما يلي :
>> % Defining a Row Vector [X] of 5 elements
>> X= [1 3 5 7 9] ;
>> % Defining a column vector [Y] of 5 elements
>> Y=[2;4;6;8;10] ;
>> % Z=X*Y
>> Z=X*Y
Z =
190
قسمة المصفوفات :
يمكننا برنامج MATLAB من إجراء عملية القسمة بين مصفوفتين بشرط أن يكون كلا المصفوفتين مربعتين أو أن يكون أحدهما قيمة عددية مفردة ونقوم بإجراء عملية القسمة بإستخدام المؤثرين الرياضيين ("/" و "" )حيث يستخدم "/" وسمي slash لإجراء عملية القسمة اليسارية ( من اليسار إلي اليمين ) كما يستخدم المؤثر "" ويسمي Backslash لإجراء عملية القسمة اليمينية (من اليمين إلي اليسار ) أو العكسية حيث يتم فيها قسمة المقام علي البسط .
ولتوضيح كيفية إجراء عملية قسمة مصفوفتين تابع معي الأمثلة التالية :
- قم بتعريف المصفوفتين المربعتين A,B كما يلي :
>> % Defining a square matrix [A]
>> A=[4 6 ;8 10] ;
>> % Defining a square matrix [B]
>> B= [2 3; 4 5] ;
- قم بإجراء عملية القسمة (بإستخدام الرمز "/" ) كما يلي :
>> % C=A/B
>> C=A/B
C =
2 0
0 2
لنلاحظ أن البرنامج قد قام بقسمة المصفوفة A كوحدة واحدة علي المصفوفة B كوحدة واحدة ولم يقم بقسمة كل عنصر من عناصر المصفوفة A علي العناصر المناظر له في المصفوفة B .
ملحوظة : يستخدم معاملي القسمة الأيمن أو الأيسر للمصفوفة في حل المعادلات الخطية Solutions of system of linear equations كما يلي :
A X =B
X=B/A
X = AB
- كما يمكننا الحصول علي نفس ناتج القسمة السابقة بإستخدام دالة المعكوس inv أو برفع المصفوفة الي القوة (-1) كما يلي :
>> % A/B = A*inv (B) = A*B^-1
>> D=A*inv (B)
D =
2 0
0 2
>> E=A*B^-1
E =
2 0
0 2
مع ملاحظة أن هذه العلاقات لا تتحقق إلا في حالة المصفوفات المربعة فقط ( المصفوفات التي يكون عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها ) ذات المعكوس .
- قم بإجراء عملية القسمة العكسية (بإستخدام الرمز "" ) كما يلي :
>> F=AB
F =
0.5000 0
0 0.5000
لنلاحظ أن البرنامج قد قام بالقسمة العكسية للمصفوفة A كوحدة واحدة علي المصفوفة B كوحدة واحدة ولم يقوم بالقسمة العكسية لكل عنصر من عناصر المصفوفة A علي العناصر المناظرة لها في المصفوفة B .
- كما يمكننا الحصول علي نفس ناتج القسمة العكسية السابقة بإستخدام دالة المعكوس inv أو برفع المصفوفة إلي القوة (1-) كما يلي :
>> % AB = inv (A) *B = A^-1*B
>> G=inv (A) *B
G =
0.5000 0
0 0.5000
>> H=A^-1*B
H =
0.5000 0
0 0.5000
مع ملاحظة ان هذه العلاقات لا تتحقق إلا في حالة المصفوفات المربعة فقط (المصفوفات التي يكون عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها ) ذات المعكوس .
قسمة مصفوفتين عنصرا بعنصر :
في كثير من الأحيان قد يكون هدف المستخدم هو قسمة كل عنصر من عناصر المصفوفة الأولي علي العنصر المناظر له في المصفوفة الثانية ويتحقق هذا بشرط هو أن يتساوي أبعاد المصفوفتين المراد قسمة عناصرهما المتقابلة (مع عدم ضرورة توافر شرط أن يكونا كلا المصفوفتين مربعتين ) أو أن يكون أحدهما قيمة عددية مفردة Scalar وتتحقق هذه العملية بإضافة نقطة Dot(.) قبل علامتي عملية القسمة (/) أو () وتستخدم كما في المثال التالي :
>> % Defining a non square Matrix [A]
>> A=[4 9 64;16 25 81]
A=
4 9 64
16 25 81
>> % Defining a non square Matrix [B]
>> B=[2 3 8;4 5 9]
B=
2 3 8
4 5 9
>> % C=A./B (Dividing element by element)
>> C=A./B
C =
2 3 8
4 5 9
>> % C=A.B (Dividing element by element)
>> D=A./B
D =
0.5000 0.3333 0.1250
0.2500 0.2000 0.1111
مع ملاحظة أن النقطة Dot(.) التي تسبق معاملي القسمة ( الأمامية / أو العكسية ) تخبر برنامج MATLAB بأن يقوم بالقسمة عنصرا بعنصر element by element أما عملية القسمة دون استخدام نقطة فتعني قلب المصفوفات (إيجاد مقلوبها أو معكوسها ) كما تحثنا سابقا .
قسمة متجهين عنصرا بعنصر :
يمكننا برنامج MATLAB من قسمة كل عنصر من عناصر المتجه الأول علي العنصر المناظر له في المتجه الثاني ويتحقق هذا بشرط هو أن يتساوي عدد العناصر المتجهين المراد قسمة عناصرهما المتقابلة أو أن يكون أحدهما قيمة عددية مفردة Scalar ويتم ذلك بإضافة نقطة Dot(.) قبل علامتي عملية القسمة (/) أو () تماما مثل عملية قسمة مصفوفتين عنصرا بعنصر وبنفس هذه الطريقة يمكننا إجراء عملية قسمة متجهين عموديين عنصرا بعنصر بشرط تساوي عدد عناصر المتجهين المراد قسمة عناصرهما المتقابلة أو أن يكون أحدهما قيمة عددية مفردة Scalar .
ملحوظة : وجه الإختلاف بين المعاملات الحسابية Arithmetic operators للمصفوفات Matrices والمتجهات Vectors هو أن المعاملات الحسابية للمتجهات تسبقها علامة النقطة (.) Dot (لتدل هذه العلامة علي تنفيذ العملية عنصرا بعنصر element by element ) ماعدا معاملات عمليات الجمع والطرح .
الكلمات التي استخدمها الزوار القادمون من محرك البحث
- العمليات على المصفوفات (71)
- قسمة المصفوفات (33)
- العمليات على المصفوفات في الماتلاب (29)
- قسمة المصفوفات رياضيات com (29)
- المصفوفات في الماتلاب (26)
- المصفوفات في الماتلاب pdf (26)
- بحث عن العمليات على المصفوفات (23)
- قسمة مصفوفتين (21)
- العمليات على المصفوفات pdf (18)
- برنامج بلوفر العمليات علي المصفوفة (10)
- طريقة قسمة المصفوفات (10)
- العمليات علي المصفوفات (9)
- شرح المصفوفات في الماتلاب (8)
- ضرب المصفوفات في الماتلاب (8)
- برنامج يجمع عناصر مصفوفه بالماتلاب (7)
- قسمة المصفوفات في الماتلاب (7)
- العمليات الاساسيه فى لغه الماتلاب (5)
- المصفوفات والعمليات عليها pdf (5)
- طريقه قسمه المصفوفات (5)
- العمليات علي المصفوفات في الماتلاب (4)
- المصفوفات (4)
- امثله على العمليات الرياضيه في الماتلاب (4)
- انواع المصفوفات في الماتلاب (4)
- تمارين ماتلاب (4)
- شرط جمع وضرب المصفوفات (4)
- قانون ضرب المصفوفات (4)
- قسمة مصفوفة =الضرب ب مقلوبها (4)
- هل يوجد شروط لتسمية المصفوفة (4)
- العمليات الرياضية في ماتلاب (3)
- المصفوفات والعمليات عليها (3)
- بحث عن قسمه المصفوفات (3)
- تطبيق على متلاب (3)
- تقسيم المصفوفات (3)
- جمع وطرح المصفوفات عن طريق برنامج ماتلاب (3)
- رفع إلى قوة ^ في الماتلاب (3)
- قسمة المصفوفات في الرياضيات (3)
- قواعد العمل على المصفوفات في mathlab (3)
- قوانين المصفوفات (3)
- التعليمة dot في المصفوفات مات&# (2)
- احسب بطريقة ايمن العددي 61-21 (2)
- اختبار في درس المصفوفات (2)
- اكتب برنامج لحساب المصفوفات بلغة الماتلاب (2)
- العمليات على المصفوفات في الماتلاب pdf (2)
- العمليات علي المتجهات في المتلاب (2)
- المصفوفات الجبرية (2)
- المصفوفات باستخدام الماتلاب (2)
- المصفوفات علي برنامج ماتلاب (2)
- المصفوفات في (2)
- المصفوفات في برنامج الماتلاب (2)
- امثلة على الماتلاب (2)
- اهم العمليات علي المصفوفات في برنامج ماتلاب مع الامثله (2)
- تعريف ابعاد المصفوفة في الماتلاب (2)
- تعلم العمليات على المصفوفات في الماتلاب (2)
- تمارين على المصفووفات والمحددات (2)
- جداء مصفوفتين (2)
- حل مسائل على المصفوفات باستخدام برنامج MATLAB (2)
- شرح المصفوفات (2)
- ضرب و قسمه المصفوفات (2)
- ضرب وقسمة مصفوفتين في برنامج الماتلاب (2)
- طريقة حل المصفوفات في الرياضيات (2)
- علاقه الماتلاب بلرياضيات (2)
- عمليات علا المصفوفات pdf (2)
- عمليات على المصفوفات (2)
- عملية القسمة في المصفوفات (2)
- قسمه المصفوفات (2)
- كتب تعلم الماتلاب7 (2)
- كيف يتم برمجة عملية ضرب مصفوفتين ذات بعدين في ماتﻻب (2)
- كيفيه حساب مصفوفه تتكون من عددين (2)
- مراجع لحل المصفوفات باستخدام الماتلاب (2)
- مصفوفات على برنامج ماتلاب 6 1 (2)
- مصفوفات ماتلاب (2)
- التطبيق النظري لماده ماتلا (1)
- العمليات على المصفوفات (1)
- تعليمات ماتلاب التقسيم (1)
- جمع ارقام الي مصفوفه (1)
- داله تقوم بجمع محتويات مصف  (1)
- شرط ضرب مصفوفنين (1)
- طريقة كرايمر في الماتلاب (1)
- عمل داله بالمات لاب الضرب ا (1)
- كيف تجرى عملية القسمه في ال (1)
- مثال لجمع المصفوفه لعدد صح¡ (1)
- () بحث ماجستير رياضيات عن مسائل على المصفوفات باستخدام برنامج MATLAB (1)
- 16/10/2008 - برنامج العمليات على المصفوفات هو أحد برامجي القديمة على VB6، بسم الله الرحمن الرحيم قد تم بعونه تعالى إنجاز برنامج يقوم بإجراء… العمليات الأربعة على المصفوفات على المصفوفات (الجمع والطرح والضرب والقسمة) وأيضا حل (1)
- matlap جمع عددين (1)
- matlap على المصفوفات pdf (1)
- script يقوم بالضرب والجمع في ماتلاب (1)
- ألمصفوفات الرياضيه (1)
- أمثلة محلولة على المصفوفات بالماتلاب (1)
- إيجاد عناصر المصفوفة المجهولة في المتلاب (1)
- إيجاد منقول مصفوفه في الماتلاب (1)
- ااشارات الارقام المرفوعه للقوه الزوجیه (1)
- اتوافق مصفوفتين (1)
- اجري عمليات علي المصفوفهA (1)
- اخذ جذر المصفوفات تربيع (1)
- اذكر الشروط الاساسية لعملية الضرب النقطي في الماتلاب (1)
- اساسيات العمليات علي المصفوفات (1)
- استخدام المصفوفات ماتلاب (1)
- استخدم المصفوفات والدوال الغير قياسيه لحساب العمليات الحسابيه (1)
- اسية مصفوفة (1)
- اكتب برنامج في ماتلاب لجمع مصفوفتين (1)
- اكتب برنامج يجمع المتجهة (1)
- اكتب برنامج يقوم باجراء العمليات الرياضية (1)
- اكتب برنانج للضرب النقطي c (1)
- الاسبقيات ماتلاب (1)
- الاعمليات الرياضيه في الماتلاب (1)
- التطبيقات على المصفوفات في الماتلاب (1)
- الجمع في الماتلاب (1)
- الضرب العددي ( المصفوفات) (1)
- الضرب النقطي والمتجهات في الماتلاب (1)
- العمليات الأولية على المصفوفات (1)
- العمليات الاساسيه على برنامج الماتلاب (1)
- العمليات الاولية على المصفوفات (1)
- العمليات الجبرية على المصفوفات (1)
- العمليات الجبرية للمصفوفات (1)
- العمليات الحسابية بين المصفوفات (1)
- العمليات الحسابية على المصفوفات (1)
- العمليات الحسابية ف الماتلاب (1)
- العمليات الحسابية ماتريكس (1)
- العمليات الحسابيه التي تجري على المصفوفات (1)
- العمليات الرياضية الاساسية علي المصفوفة في برنامج ماتلاب 2016 (1)
- العمليات الرياضية على المصفوفات (1)
- العمليات الرياضية في الماتلاب pdf (1)
- العمليات على المحددات (1)
- العمليات على المصفو (1)
- العمليات على المصفوفات الجمع والطرح والضرب والقسمه (1)
- العمليات على المصفوفات في برنامج ماتلاب (1)
- العمليات على المصفوفه القسمه والطرح (1)
- العمليات علي المصفوفات الجمع والضرب والقسمه والطرح (1)
- العمليات علي المصفوفات بالماتلاب (1)
- العمليات علي المصفوفات بواسطة الماتلاب (1)
- العمليات في المصفوفات (1)
- العملية العكسية لجدول z (1)
- العمليت الحسابية في ماتلاب (1)
- الفرق بين وضع * الماتلاب (1)
- القسمة في المصفوفات (1)
- القسمه في الماتلاب (1)
- القسمه من ناحية اليمين في الماتلاب (1)
- المصفوفات في الرياضيات (1)
- المصفوفات في ماتلاب pdf (1)
- المصفوفة الحسابية (1)
- المصفوفة في الماتلاب (1)
- المصفوفه الاسيه (1)
- المعمليات الرياضية علي المات لاب (1)
- امتلة علي المصفوفات (1)
- امتله محلوله علي جميع المصفوفات الرياضيا (1)
- امثلة توضيحية لقسمة مصفوفة على مصفوفة (1)
- امثلة ماتلاب ف المصفوفات (1)
- امثلة وبرامج محلولة علي كيفية كتابة مصفوفات واستدعاء عناصرها في الماتلاب (1)
- امثله العمليات على المصفوفات جمع ضرب وطرح قسمه (1)
- امثله ع العمليات الرياضيه c (1)
- اهمية واهداف التخطيط الادارى (1)
- اوامر ماتلاب للمصفوفات (1)
- اولويات العمليات الرياضية جمع ضرب تقسيم (1)
- ايجاد قيمة العنصر في المصفوفة في الماتلاب (1)
- ايجاد مرافق المصفوفه في الماتلاب (1)
- ايجاد منقول مصفوفة بالماتلاب (1)
- ايعاز الجمع في الماتلاب (1)
- باسكال لجمع مصفوفتين (1)
- بحث علمي عن المتجهات والمصفوفات والمتجهات المتعلقه بالمصفوفات (1)
- بحث عن جمع ومقلوب المصفوفة في صيغة برنامج (1)
- برنامج المصفوفات على الماتلاب (1)
- برنامج بلغة c رفع المصفوفة لأس (1)
- برنامج عمليات المصفوفات (1)
- برنامج فتح العمليات الرياضي (1)
- برنامج في المات لاب لجمع مصفوفتين (1)
- برنامح يقوم بايجاد حاصل طرح وضرب عددين (1)
- تبدیل الاعداد في المصفوفه matlab (1)
- تجزئة المصفوفات (1)
- ترتيب العمليات الحسابيه على المصفوفات (1)
- تطبيقات عن المصفوفات في الماتلاب (1)
- تعريف العمليات الأولية على المصفوفات pdf (1)
- تعريف ضرب المصفوفة الجبرية (1)
- تعلم المصفوفات في الرياضيات (1)
- تعلمة حساب محدد مصفوفة في برنامج MATLAB (1)
- تقسيم الماتركس (1)
- تقسيم المربع لبعدين xو y باستحدام ماتلاب (1)
- تكوين مصفوفه 5*4 علي الماتﻻب (1)
- تمثيل المصفوفات بماتلاب (1)
- تنفيذ العمليات الحسابية بلغة الماتلاب (1)
- توضيح العمليات الحسابية ماتريكس (1)
- جبر المصفوفات باستخدام الماتلاب (1)
- جداء المصفوفات gif#scso=uid_WSSgBAABYekKLBaGTwq65Q_5:1760 (1)
- جدول الرياضيات للاعداد المرفوعة لأس 2 (1)
- جمع عدد ثابت في مصفوفة (1)
- جمع وطرح وضرب وقسمة المتجهات (1)
- حاصل ضرب ارقام مصفوفه احاديه (1)
- حذف عنصر في مصفوفه مربعه في ماتلاب (1)
- حل العمليات على المصفوفات (1)
- حل المتجهات ف الماتلاب (1)
- حل المسائل الرياضيه وادخال القيم في الماتلاب (1)
- حل المصفوفة باستخدام ماتلاب (1)
- حل برنامج للعمليات الحسابيه بواسطه الدوال (1)
- حل ثلاث معادلات بثلاث مجاهيل بالماتﻻب (1)
- حل مسائل علي المصفوفات (1)
- حل مصفوفة رياضية ذات اس (1)
- حل معادلات من الدرجة الاولة تلاتة مجهيل بمتلاب (1)
- حلول ل مصفوفه اسيه (1)
- دالة ايجاد مجموع المصفوفة بالماتلاب (1)
- درس التوافق المصفوفي (1)
- درس الماتلاب بالمصفوفات (1)
- رفع مصفوفة لقوة (1)
- رفع مصفوفه مستطيله لاس (1)
- سؤال وجواب المصفوفات في الماتلاب (1)
- سوره تدل على العمليات الطرح والجمع الضرب للمصفوفات (1)
- شرح إجراء العمليات الأولية على المصفوفات (1)
- شرح العمليات الحسابية ماتريكس (1)
- شرح العمليات على المصفوفات (1)
- شرح المصفوفات الخاصه في برنامج الماتلاب (1)
- شرح المصفوفه العمودية (1)
- شرح اوامر ماتلاب ف المصفوفات pdf (1)
- شرح حل دوال عددية وكود الخاص بها على المطلب (1)
- شرح طريقه قسمه المصفوفه (1)
- شرط الجمع في المصفوفات (1)
- شروط جمع وطرح المصفوفات (1)
- ضرب المصفوفات بالتجزئة (1)
- ضرب المصفوفات بعدد ثابت (1)
- ضرب عناصر المصفوفة ماتلاب (1)
- ضرب عناصر مصفوفة ذات بعدين في 4 في المؤشرات (1)
- ضرب مصفوفتين (1)
- ضرب مصفوفتين 3×3 (1)
- ضرب مصفوفه تربيع (1)
- ضرب مصفوفه فی مصفوفه اخری (1)
- ضرب مصفوفه مربعه في متجه عمود (1)
- ضرب نقطي بالمات لاب (1)
- طرح رقم من عناصر المصفوفه (1)
- طرح مصفوفة بجميع طرق (1)
- طرق حل المصفوفات (1)
- طريقة اجراء عملية الضرب لجدول في الماتلاب (1)
- طريقة ايجاد مقلوب مصفوفة ماتلاب 3*3 (inv) يدويا (1)
- طريقة جمع المصفوفات بالحاسوب (1)
- طريقة جمع المصفوفه (1)
- طريقة حل الاستكمال في الماتلاب (1)
- طريقة حل المصفوفات وكتابتها في الماتلاب بالطريقة جاكوبي (1)
- طريقة قسمة مصفوفتن (1)
- علاقه الماتلاب مع الإستكمال الرياضي (1)
- عمليات الحسابيه في برنامج ماتﻷب (1)
- عمليات الضرب والجمع المحددات (1)
- عمليات القسمه على المصفوفات (1)
- عمليات الماتلاب (1)
- عمليات المصفوفات (1)
- عمليات حسابي علي المصفوفات (1)
- عمليات حسابية على برنامج ماتلاب (1)
- عمليه جمع مصفوفه في عدد (1)
- قانين خاصة بالمصفوفات (1)
- قسمة المصفوفات pdf (1)
- قسمة المصفوفان (1)
- قسمة المصفوفة (1)
- قسمة عدد على مصفوفة (1)
- قسمة ماتركس على ثابت (1)
- قسمة مصفوفة (1)
- قسمة مصفوفة على عدد (1)
- قسمة مصفوفة على مصفوفة (1)
- قسمه المصف (1)
- قواعد الماتلاب#spf=1 (1)
- قوانين العمليات الحسابية pdf (1)
- قوانين حل الانظمة الخطية للمصفوفات (1)
- قونين ضرب في متلاب (1)
- كتاب امثلة على البرمجية في الماتلاب برنامج ماتلاب (1)
- كتابة المصفوفات في الماتلاب pdf (1)
- كتابة برنامج ماتلاب لعمليات الحسابية (1)
- كود في برنامج لغة الجافة يطبع ضرب مصفوفتين (1)
- كيف احسب المنقول في الماتلاب (1)
- كيف تستطيع تجزئة الاسم إلى أعمدة في sqr (1)
- كيف نحل مصفوفة اس عدد؟ (1)
- كيف يتم تعريف مصفوفتين في الماتلاب (1)
- كيف يتم تقسيم مصفوفه هلي مصفوفه (1)
- كيف يمكن تربيع مصفوفه مربعه (1)
- كيفية اجراء العمليات الرياضية في matlap (1)
- كيفية استعمال علامة الضرب في مصفوفة (1)
- كيفية حساب محدد مصفوفة في الماتلاب (1)
- كيفية حساب مصفوفة 3*2 (1)
- كيفية ضرب العددي للمصفوفات (1)
- كيفية ضرب المصفوفات الحسابيه (1)
- كيفية ضرب المصفوفات المربعة (1)
- كيفية ضرب المصفوفات المربعة بمصفوفه عادية (1)
- كيفية ضرب مصفوفة في متجه (1)
- كيفية كتباة برنامج ماتلاب لمصفوفة قطرية (1)
- كيفيت استخدام الماتلاب في العمليات الحسابية (1)
- كيفيه حساب مصفوفه تتكون من عذين (1)
- كيفيه ضرب عدد بمصفوفه في الماتلاب (1)
- كِوَدِ دِالُُه ضُرَبّ مٌتْجُْهيَنَ فَ الُمٌاتْلُابّ (1)
- لماذا نبدأ الجمع العمودي من اليمين (1)
- ما هي العمليات الأولية لمصفوفات (1)
- ماتلاب المصفوفات (1)
- ماتلاب شرح المصفوفات (1)
- ماتلاب عمليات رياضيه (1)
- ماتلاب قاعده كرايمر (1)
- ماتلاب كيفية ضرب السطر في العمود (1)
- ماتلاب مسائل محلولة في المصفوفات (1)
- ماتلاب مصفوفات (1)
- ماههي تعليمة ضرب مصفوفتين في ماتلاب (1)
- ماهو الشرط الاساسي لعملية الضرب النقطي في الماتلاب (1)
- ماهو شرط التوافق بالجمع والطرح للمصفوفات (1)
- ماهي المصفوفة المناظرة (1)
- متى بستخدم منقول في المصفوفات (1)
- مثال لطرح مصفوفة (1)
- مثال لمحدد المصفوفه بستخدام الماتلاب (1)
- مسائل جمع الاعدادمرفوعه لأس (1)
- مسائل في المصفوفات pdf (1)
- مسائل محلولة عن فك المحددات (1)
- مسائل و أمثله في مصفوفات الماتلاب (1)
- مشروع العمليات على المصفوفات (1)
- مصفوفات عملية طرح (1)
- مصفوفات متلاب إعداد زوجية وإعداد فردية (1)
- مصفوفات هل لديها قسمة (1)
- مصفوفة مات لاب لحل معادلات (1)
- مصفوفة مرفوعة لأس (1)
- مصفوفة مرفوعة للاس nبلغة c (1)
- معرفة قسمة مصفوفتين على بعض (1)
- مقلوب المصفوفات (1)
- نبدا عن برنامج المات لاب 2013 وكيف تكون مصفوفه (1)
- نورم المصفوفة (1)
- وضع المنقول في مصفوفات الماتلاب (1)
- يشترط في المحدد ان يكون مربعا اي يتساوى عدد الصفوف مع عدد الاعمده (1)